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口腔病理学（こうくうびょうりがく、Oral pathology）とは、顎口腔領域の病気の原因、発生機序の解明や病気の診断を確定するのを目的とする、歯学、病理学の一分野である。

口腔病理学は、人体の中で「口腔」という特異な部位における病理を研究解明する学問であり、病院などでは主として口腔外科手術における術中病理診断や細胞診など、歯牙を含む口腔組織に関して診断を行う。
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口腔病理学は狭義においては歯牙とその歯周組織に関する「歯科病理学」と、唾液腺や口腔軟組織、ひいては顎顔面から鎖骨上組織に至るまでの広義の口腔病理学とがあるが、病理学としての位置づけは臨床病理学の各論的なものである。

しかし、口腔は全身のあらゆる疾患に対するの初発症状を示す場合が多く、口腔病理学が病理学総論の学問体系の中において必要不可欠な分野である。日本においては、基礎歯学系として研究室が置かれていることが多いが、欧米では臨床歯学系として扱われている。

エナメル上皮腫（エナメルじょうひしゅ）は歯原性腫瘍の一種で、良性腫瘍。実質はエナメル器に類似している。歯原性腫瘍の中でもっとも多い腫瘍である。

エナメル上皮腫は上皮性腫瘍であり、十代から二十代の男性に好発する。主に下顎骨の臼歯部に発生し、上顎骨に発生することは少ない。まれではあるが、骨外性（歯肉）に発生することもある。濾胞型と叢状型があり、前者が多い。

歯原性腫瘍の中で最も代表的な腫瘍で、つまりはエナメル上皮腫中でも最も代表的なものである。アジアにおいては歯原性腫瘍の約50%を占め、欧米では10~20%程度である。好発年齢は30-40歳（平均37歳）で、性差は男性の方がやや多い。80%以上が下顎に生じ、特に大臼歯部から下顎枝にかけて多い。顎骨中心性である。発育緩慢な顎骨の豊隆や、骨破壊性に発育する。皮質骨を穿孔し骨外に増殖することがあるなど、良性腫瘍にも関わらず局所浸潤性を示す。エックス線像は、scallopingと呼ばれる多房性の骨破壊像を見せる。またしばしば埋伏歯を伴う。処置法によってはしばしば再発し、ごく稀に悪性化する。

さらに組織像的に濾胞型と叢状型にわけられ、濾胞型には棘細胞腫型と顆粒細胞型という細胞性亜型がある。

骨外型/周辺型エナメル上皮腫 [編集]
エナメル上皮腫の2-10%程度の発生頻度である。エプーリス様に歯肉や歯槽粘膜に発生し、下顎の特に小臼歯・前歯部に後発である。性差としては男性が多く、好発年齢は平均52歳である。再発率は低い。

線維形成型エナメル上皮腫 [編集]
エナメル上皮腫の約10%程度の発生頻度である。上下顎で発生頻度の差はなく、前歯部・小臼歯部に約80%が発生する。エナメル上皮腫としては非定形的なエックス線像を見せる。組織像としては、コラーゲン線維に富む間質中に索状から小さな島状の胞巣を示し、扁平上皮化生を伴う。再発率は充実型とほぼ同じ程度かやや低い。

単嚢胞型エナメル上皮腫 [編集]
エナメル上皮腫の5-15%の発生頻度である。好発年齢は10-20歳代。下顎に90%以上が発生し、特に臼歯部に多い。80%以上が下顎埋伏の第3大臼歯と関係があり、含歯性嚢胞のようなエックス線透過像を示す。

症状 [編集]
顎骨の無痛性の腫脹や変形、それに伴う歯の移動が見られる。進行すると骨が菲薄化するために羊皮紙様感や波動が確認できる。

非ユークリッド幾何学（ひ-ユークリッド-きかがく、non-Euclidean geometry）は、ユークリッド幾何学の平行線公準が成り立たないとして成立する幾何学の総称。非ユークリッドな幾何学の公理系を満たすモデルは様々に構成されるが、計量をもつ幾何学モデルの曲率を一つの目安としたときの両極端の場合として、至る所で負の曲率をもつ双曲幾何学と至る所で正の曲率を持つ楕円幾何学（殊に球面幾何学）が知られている。

ユークリッドの幾何学は、至る所曲率0の世界の幾何であることから、双曲・楕円に対して放物幾何学と呼ぶことがある。大雑把に言えば「平面上の幾何学」であるユークリッド幾何学に対して、「曲面上の幾何学」が非ユークリッド幾何学である。

ユークリッドの著した「原論」('element')の1?4巻に於いては、今日で言うところのユークリッド幾何学に関して、古代ギリシア数学の成果がまとめられている。

さて、「原論」では最初にいくつかの公理・公準を述べているが、その中の第五公準が次の、平行線公準と呼ばれるものである。

1 直線が 2 直線に交わり、同じ側の内角の和を 2 直角より小さくするならば、この 2 直線は限りなく延長されると、2 直角より小さい角のある側において交わること。
これは他の公理に比べて自明性は低く、また明らかに冗長であったので、いくつかの疑念を生ずることとなった。

公理・公準として扱うことは正しいのだろうか？　定理なのでは無いだろうか。
あるいは、もっと自明で簡潔な、同値な命題が存在するのではないだろうか。
ここから、平行線公準の証明の試み、あるいは平行線公準の言い換えの試みが始まった。
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古代ギリシア [編集]
プロクロスは、「原論」の注釈書に於いて平行線公準が定理なのではないかと述べている。
プトレマイオスは「平行線公準を証明した」と主張したが、その証明は巡り巡って「原論」第1 巻命題 29 に依っており、命題 29 は平行線公準により証明されているので主張は正しくなかった。

古代ギリシャ以降も、無数の「平行線公準の証明」が生まれたが、多くはプトレマイオスと同じ過ちを犯していた。しかし、その結果として「平行線公準と同値な命題」が作られた。

ジョバンニ・ジローラモ・サッケーリは、1773年、論文「あらゆる汚点から清められたユークリッド」(Euclides ab Omni Naevo Vindicatus)において、鋭角仮定・直角仮定・鈍角仮定という互いに背反かついずれかは成立するような仮定を設定し、直角仮定から平行線公準を導けることを示した。

同論文の定理 9 および定理 15 により、各仮定をより分かりやすく言い換えるなら次の通りである。

鋭角仮定
三角形の内角の和は 2 直角よりも小さい
直角仮定
三角形の内角の和は 2 直角に等しい
鈍角仮定
三角形の内角の和は 2 直角よりも大きい
サッケーリは、鈍角仮定および鋭角仮定は矛盾を生じると主張したが、その証明に於いてはやはり平行線公準に依存する命題を使ってしまっており、証明としては正しくなかった。しかしながら、上の 3 つの分類はその後の非ユークリッド幾何学の構築に大きな役割を果たした。

またヨハン・ハインリッヒ・ランベルトも1766年執筆の論文「平行線の理論」に於いて同様の主張をしている（この論文は1786年に発見された）。

カール・フリードリヒ・ガウスは、1824年11月8日の手紙に於いて、鋭角仮定のもとで整合的な幾何学が成立する可能性を示唆し、そこにはある定数があってこれが大きいほど通常の幾何学に近づくと述べた。

ガウスの言うある定数とは、現代の言葉で言えば空間の曲率 k に対し、-(1/k)のことである。ガウス個人は非ユークリッド幾何の存在を確信していたと見られるが、宗教論争に巻き込まれる事を恐れ公表していない。

非ユークリッド幾何学の成立 [編集]
ニコライ・イワノビッチ・ロバチェフスキーは「幾何学の新原理並びに平行線の完全な理論」(1829年)において、「虚幾何学」と名付けられた幾何学を構成して見せた。これは、鋭角仮定を含む幾何学であった。

ボーヤイ・ヤーノシュは父・ボーヤイ・ファルカシュの研究を引き継いで、1832年、「空間論」を出版した。「空間論」では、平行線公準を仮定した幾何学（Σ）、および平行線公準の否定を仮定した幾何学（S）を論じた。更に、1835年「ユークリッド第 11 公準を証明または反駁することの不可能性の証明」において、Σ と S のどちらが現実に成立するかは、如何なる論理的推論によっても決定されないと証明した。

ベルンハルト・リーマン （スタブ）

あわせて4人が3通りの方法を発見した。その結果をまとめると以下のようになる。なお、ここでは曲がった面上や空間内の「直線」は二点間の最短距離を指す。平行線は絶対に交わらない二本の直線である。